Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，已知sin=．
（1）求cos C的值；
（2）若△ABC的面積為，且sin²A+sin²B=sin²C，求a，b及c的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，得到關于sin的關系式，把sin的值代入即可求出值；
（2）把sin²A+sin²B=sin²C利用正弦定理化簡，得到一個關于a，b和c的關系式，記作①，然后根據(jù)余弦定理表示出cosC，把（1）中求出的cosC的值代入，得到關于a，b和c的另一關系式，記作②，又根據(jù)三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，讓面積等于的一個關系式，且由cosC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinC的值，把sinC的值代入關系式中化簡，得到又一個關于a，b的關系式，記作③，聯(lián)立①②③組成方程組，求出方程組的解即可得到a，b和c的值．
解答：解：（1）因為sin=，
所以cosC=1-2sin²=1-2=-；（5分）
（2）因為sin²A+sin²B=sin²C，由正弦定理得：a²+b²=c²．①
由余弦定理得a²+b²=c²+2abcosC，將cosC=-代入，
得：ab=c²．②
由S_△ABC=absinC=及sinC==，得：ab=6．③
聯(lián)立①②③，解得或，經(jīng)檢驗，滿足題意．
所以或．（14分）
點評：此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，靈活運用二倍角的余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關系化簡求值，是一道中檔題．