Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₁=1，點(diǎn)（n，S_n）在曲線C上，C和直線x-y+1=0交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=

6

，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（　�。�

A．a(chǎn)_n=2n-1

B．a(chǎn)_n=3n-2

C．a(chǎn)_n=4n-3

D．a(chǎn)_n=5n-4

Answer 1

分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可以設(shè)出s_n=an²+bn，因?yàn)槠潼c(diǎn)（1，1），求出a與b的關(guān)系，聯(lián)立直線與曲線C的方程可得一個(gè)方程，與A，B點(diǎn)橫坐標(biāo)與方程系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)，|AB|=

6

，求出a的值，求出S_n，可以求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n；

解答：解：等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
不妨設(shè)s_n=an²+bn，A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₁，x₂，
過(guò)點(diǎn)（1，1），
所以1=a+b，曲線C應(yīng)為y=ax²+（1-a）x…①
直線：x-y+1=0…②交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=

6

，
聯(lián)立①②可得，ax²-ax-1=0，
x₁+x₂=1，x₁，•x₂=-

1

a

，
因?yàn)閨AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

1-4× -1 a

=

6

，
∴a=2，b=-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=2n²-n-（-2n²-5n+3）=4n-3，
當(dāng)n=1，可得s₁=1，
這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式：a_n=4n-3；
故選C；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查數(shù)列與解析幾何的綜合，是一道綜合題，難度比較大，計(jì)算量比較大，思路比較清晰，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，此題是一道好題；