Question

16．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的線段長．

Answer 1

分析 （I）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1消去參數(shù)θ，可得直角坐標(biāo)方程，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ即可化為極坐標(biāo)方程．
（II）把直線l的極坐標(biāo)方程θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）代入圓的極坐標(biāo)方程即可得出．

解答 解：（I）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ，可得：（x-2）²+y²=4，
展開為：x²+y²-4x=0，可得極坐標(biāo)方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（II）把直線l的極坐標(biāo)方程θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）代入圓的極坐標(biāo)方程可得：ρ=4$cos\frac{π}{6}$=2$\sqrt{3}$．
由于圓與直線都經(jīng)過原點(diǎn)，因此直線l被曲線C截得的線段長=|OP|=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．