Question

已知函數f（x）=e^x-c，g（x）=

1

3

ax³⁺

1

2

bx²+cx（a，b，c∈R）．
（1）若ac＜0，求證：函數y=g（x）有極值；
（2）若a=b=0，且函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個相異交點，求證：c＞1．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,函數的零點與方程根的關系

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（1）求導數，函數g′（x）有兩個零點，則可設為g′（x）=a（x-α）（x-β），利用零點存在定理，即可證明結論；
（2）記h（x）=e^x-cx-c，則h′（x）=e^x-c，由函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個相異交點知函數h（x）有兩互異零點，即可得出結論．

解答： 證明：（1）由g（x）=

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3

ax³+

1

2

bx²+cx得g′（x）=ax²+bx+c，
∵ac＜0，∴△＞0且a≠0．   …（4分）
∴函數g′（x）有兩個零點，則可設為g′（x）=a（x-α）（x-β）
∴若x₁＜α＜x₂＜β＜x₃，則g′（x₁）g′（x₂）＜0，g′（x₂）g′（x₃）＜0．
∴g（x）有極值．  …（6分）
（2）由e^x-c=cx，得e^x-cx-c=0，
記h（x）=e^x-cx-c，則h′（x）=e^x-c，
由函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個相異交點知函數h（x）有兩互異零點…（9分）
若c≤0，h（x）單調遞增，則h（x）最多1個零點，矛盾．  …（11分）
∴c＞0．此時，令h′（x）=0，則x=lnc．
列表：

x	（-∞，lnc）	lnc	（lnc，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）

∴h（x）_min=h（lnc）=-clnc＜0，∴c＞1．…（16分）

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．