Question

已知函數(shù)y=

2

x-1

（1）用函數(shù)單調(diào)性證明函數(shù)y=

2

x-1

在（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）求函數(shù)y=

2

x-1

在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)1＜x₁＜x₂，只要證明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（2）根據(jù)（1）知函數(shù)y在[2，6]上單調(diào)遞減，所以x=2時(shí)，函數(shù)y取最大值，x=6時(shí)，取最小值．

解答： 解：（1）證：設(shè)x₁、x₂是區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

；
由1＜x₁＜x₂得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
所以函數(shù)y=

2

x-1

是區(qū)間（1，+∞）上的減函數(shù)．
（2）解：由（1）知函數(shù)y=

2

x-1

在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=2時(shí)，y_max=2；當(dāng)x=6時(shí)，y_min=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：考查單調(diào)性的定義及根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．