Question

【題目】已知函數(shù) ，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點x1 ， x2 ， （x1＜x2），求證：1＜x1＜a＜x2＜a2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，函數(shù)的定義域為（0，+∞），

當(dāng)a≤0時， ， ，

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），

當(dāng)a＞0時， ，

若x≥a， ，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

若x＜a， ，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；

當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）；單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）

（2）證明：由（1）知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

此時函數(shù)至多只有一個零點，不合題意；

則必有a＞0，此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）；單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），

由題意，必須 ，解得a＞1，…10分

由 ，f（a）＜0，

得x1∈（1，a），

而f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna），

下面證明：a＞1時，a﹣1﹣lna＞0

設(shè)g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞1

則 ，

所以g（x）在x＞1時遞增，則g（x）＞g（1）=0，

所以f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna）＞0，

又f（a）＜0，

所以x2∈（a，a2），

綜上，1＜x1＜a＜x2＜a2

【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，函數(shù)至多只有一個零點，不合題意；則必有a＞0，此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）；單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），進(jìn)一步得出x1∈（1，a）和x2∈（a，a2），從而得出答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．