Question

已知定圓C₁：x²+y²+10x+24=0，C₂：x²+y²-10x+9=0，動(dòng)圓C與定圓C₁，C₂都外切．求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，然后根據(jù)動(dòng)圓C與定圓C₁，C₂都外切可得|CC₂|-|CC₁|=4-1=3，從而得到動(dòng)圓的圓心軌跡為以C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，則答案可求．

解答： 解：由C₁：x²+y²+10x+24=0，得（x+5）²+y²=1，
∴圓C₁的圓心坐標(biāo)為（-5，0），半徑為1，
由C₂：x²+y²-10x+9=0，得（x-5）²+y²=16，
∴圓C₂的圓心坐標(biāo)為（5，0），半徑為4，
設(shè)動(dòng)圓C的圓心坐標(biāo)為（x，y），
由動(dòng)圓C與定圓C₁，C₂都外切，得
|CC₂|-|CC₁|=4-1=3，
∴動(dòng)圓圓心C的軌跡是以C₁，C₂為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
且2a=3，c=5，
∴b2=c2-a2=

91

4

．
∴動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為

4x2

9

-

4y2

91

=1(x＜0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義，考查了圓與圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．