Question

16．如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4$\sqrt{3}$，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為$\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 先將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為兩部分的之間之差，即S_陰影=S_梯形PHGF-S_三角形NMF，再依次計算各面積．

解答 解：如右圖，BE=AD=4$\sqrt{3}$sin60°=6，
該陰影（灰色）區(qū)域的面積為：
S_陰影=S_梯形PHGF-S_三角形NMF
=$\frac{1}{2}$•（PH+FG）×h-$\frac{1}{2}$•MN×FN，
根據(jù)幾何關系，上式中的個條線段長度如下：
h=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$
PH=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}$×6=2，F(xiàn)G=2MG=AH=4，
MN=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{4}$AB=$\sqrt{3}$，F(xiàn)N=MN×tan30°=1，
因此，S_陰影=$\frac{1}{2}$（2+4）×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
故陰影部分的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查了幾何圖形中數(shù)量關系的分析和運算，以及梯形和三角形面積的求解，屬于中檔題．