Question

19．（1）已知Z是復(fù)數(shù)，Z+2i，$\frac{Z}{2-i}$均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)（Z+ai）²在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）已知兩個向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z₁=3和z₂=-5+5i，求向量$\vec a$與$\vec b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義即可得出．
（2）根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可

解答 解：（1）設(shè)z=c+di，則z+2i=c+（d+2）I為實(shí)數(shù)，
∴d=-2，即z=c-2i，
又$\frac{z}{2-i}=\frac{c-2i}{2-i}=\frac{2c+2+（c-4）i}{5}$為實(shí)數(shù)，
∴c=4，
∴z=4-2i．
而（z+ai）²=（4-2i+ai）²=16-（2-a）²-8（2-a）i 對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{16-{{（2-a）}^2}＞0}\\{-8（2-a）＞0}\end{array}}\right.$，
解得2＜a＜6．
（2）設(shè)$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為α，$\overrightarrow a$=（3，0），$\overrightarrow b$=（5，5），
則$cosα=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|}}=\frac{3×（-5）-0×5}{{3•\sqrt{25+25}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵0≤α≤π，
∴α=$\frac{3}{4}$π．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、不等式組的解法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．