Question

14．如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F(xiàn)為線段DE的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面ACF
（2）求異面直線AD與CF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD交于O，連OF，則OF為△DEB的中位線，通過OF∥BE，證明BE∥平面ACF；
（2）異面直線AD與CF所成角就是BC與CF所成角，利用余弦定理可求異面直線AD與CF所成角的余弦值．

解答 （1）證明：連接AC，BD交于O，連OF
∵F為DE中點(diǎn)，O為BD中點(diǎn)，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF；
（2）解：∵BC∥AD，
∴異面直線AD與CF所成角就是BC與CF所成角，
∵AE=DE=2，F(xiàn)為線段DE的中點(diǎn)．
∴AD=BC=CD=2$\sqrt{2}$，
∵CF=$\sqrt{8+1}$=3，BF=$\sqrt{8+4+1}$=$\sqrt{13}$，
∴cos∠BCF=$\frac{8+9-13}{2×2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴異面直線AD與CF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查直線和平面平行關(guān)系的判定，直線和平面所成角的計(jì)算．考查考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算、推理論證能力．