已知函數(shù)f(x)=e2x-1-2x-kx2
(Ⅰ)當(dāng)k=0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若x≥0時(shí),f(x)≥0恒成立,求k的取值范圍.
(Ⅲ)試比較
e2n-1
e2-1
2n3
3
+
n
3
(n為任意非負(fù)整數(shù))的大小關(guān)系,并給出證明.
分析:(Ⅰ)取x=0后,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)大于0和導(dǎo)函數(shù)小于0分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),以k≤2和k>2進(jìn)行分類(lèi)討論,由k≤2時(shí),說(shuō)明原函數(shù)在[0,+∞)上為增函數(shù),說(shuō)明f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,k>2時(shí),說(shuō)明這種情況不存在;
(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ),說(shuō)明函數(shù)f(x)當(dāng)k=2時(shí)為增函數(shù),把不等式變形e2x≥2x2+2x+1=x2+(x+1)2后,依次取x的值為0,1,2…,(n-1),累加后利用等比數(shù)列求和公式可得結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)k=0時(shí),f(x)=e2x-1-2x,
f(x)=2e2x-2,
令f(x)>0,則2e2x-2>0,解得:x>0.
令f(x)<0,則2e2x-2<0,解得:x<0.
所以,函數(shù)f(x)=e2x-1-2x的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞).
單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0).
(Ⅱ)由函數(shù)f(x)=e2x-1-2x-kx2,
則f(x)=2e2x-2kx-2=2(e2x-kx-1),
令g(x)=e2x-kx-1,
則g(x)=2e2x-k.
由x≥0,
所以,①當(dāng)k≤2時(shí),g(x)≥0,g(x)為增函數(shù),而g(0)=0,
所以g(x)≥0,即f(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
而f(0)=0,所以f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.
②當(dāng)k>2時(shí),令g(x)<0,即2e2x-k<0,則0≤x<
1
2
ln
k
2

即g(x)在[0,
1
2
ln
k
2
)上為減函數(shù),而g(0)=0,所以,g(x)在[0,
1
2
ln
k
2
)上小于0.
即f(x)<0,所以,f(x)在[0,
1
2
ln
k
2
)上為減函數(shù),而f(0)=0,故此時(shí)f(x)<0,不合題意.
綜上,k≤2.
(Ⅲ)
e2n-1
e2-1
2n3
3
+
n
3

事實(shí)上,由(Ⅱ)知,f(x)=e2x-1-2x-2x2在[0,+∞)上為增函數(shù),
所以,e2x≥2x2+2x+1=x2+(x+1)2
則e0≥12
e2≥12+22
e4≥22+32
e6≥32+42

e2(n-1)≥(n-1)2+n2
累加得:1+e2+e4+e6+…+e2(n-1)≥2(12+22+32+…+(n-1)2)+n2
1-e2n
1-e2
(n-1)n(2n-1)
6
+n2

所以,
e2n-1
e2-1
2n3
3
+
n
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了函數(shù)中的恒成立問(wèn)題,考查了不等式的證明,解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)考查了學(xué)生靈活的變式思維能力,此題屬難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2012•菏澤一模)已知函數(shù)f(x)=e|lnx|-|x-
1
x
|,則函數(shù)y=f(x+1)的大致圖象為( �。�
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(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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