Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ， 且an= （n∈N*）． （Ⅰ）若數(shù)列{an+t}是等比數(shù)列，求t的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記bn= + ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，由a1= （n∈N*），得a1=1．

當(dāng)n≥2時(shí)，an=sn﹣sn﹣1=2an﹣n﹣2an﹣1+（n﹣1），

即an=2an﹣1+1，∴a2=3，a3=7，．

依題意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1，

當(dāng)t=1時(shí)，an+1=2（an﹣1+1），n≥2，

即數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，故實(shí)數(shù)t的值為1．

（Ⅱ）由（Ⅰ），知當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=2（an﹣1+1），

又因?yàn)閍1+1=2，

所以數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

所以 ，

∴a （n∈N+）．

（Ⅲ）由（Ⅱ），知bn= + = = ，

則Tn= =1﹣

【解析】（Ⅰ）易得an=2an﹣1+1，∴a2=3，a3=7，依題意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1， （Ⅱ）由（Ⅰ），知當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=2（an﹣1+1），即數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得 ，即可求通項(xiàng)．（Ⅲ）由（Ⅱ），知bn= + = = ，累加即可求和．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握通項(xiàng)公式：；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．