Question

已知在平面坐標系xOy之中，點A（0，-n），B（0，n）（n＞0），命題p：若存在某個點P在圓（x+

3

）²+（y-1）²=1上，使得∠APB=

π

2

，則1≤n≤3；命題q：函數(shù)f（x）=

4

3

-log₃^x在區(qū)間（3，4）內(nèi)沒有零點，下列命題為真命題的是（　�。�

• A、p∧（￢q）
• B、p∧q
• C、（￢p）∧q
• D、（￢p）∨q

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題p：圓（x+

3

）²+（y-1）²=1的圓心C(-

3

，1)，半徑r=1；設(shè)以原點O為圓心，n為半徑的圓為x²+y²=n²，|OC|=2．利用兩個圓外切與內(nèi)切的性質(zhì)即可得出n的取值范圍．利用函數(shù)零點存在定理、函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出命題q的真假．

解答： 解：命題p：圓（x+

3

）²+（y-1）²=1的圓心C(-

3

，1)，半徑r=1；設(shè)以原點O為圓心，n為半徑的圓為x²+y²=n²．|OC|=

(- 3 )2+1

=2，
當兩個圓外切時，由1+n=2，解得n=1；當兩個圓內(nèi)切時，由n-1=2，解得n=3．因此使得∠APB=

π

2

，則1≤n≤3，是真命題；
命題q：函數(shù)f（x）=

4

3

-log₃^x在區(qū)間（3，4）內(nèi)沒有零點，∵4³＜3⁴，∴log343＜log334=4，∴log34＜

4

3

，而log₃3=1，∴f（3）＞0，f（4）＞0，而函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，4）內(nèi)單調(diào)遞減，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，4）內(nèi)沒有零點，是真命題．
因此只有p∧q為真命題．
故選：B．

點評：本題考查了函數(shù)零點存在定理、函數(shù)的單調(diào)性、兩個圓外切與內(nèi)切的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．