Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，BB₁=b（b＞a），設(shè)異面直線A₁B與AD₁所成的角為α，異面直線A₁B與B₁D₁所成的角為β，則  （　　）

• A、α＜60°，β＜60°
• B、α＜60°，β＞60°
• C、α＞60°，β＞60°
• D、α＞60°，β＜60°

Answer 1

分析：先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B，得到的銳角∠A₁BC₁就是異面直線所成的角，在三角形中A₁BC₁用余弦定理求解判定大小，同理可證異面直線A₁B與B₁D₁所成的角為β，β＞60°．

解答：解：如圖，連接BC₁，A₁C₁，
∠A₁BC₁是異面直線A₁B與AD₁所成的角，
設(shè)AB=a，BB₁=b，∴A₁B=C₁B=

a2+b2

，A₁C₁=

2

a，
∠A₁BC₁的余弦值為

2b2

4a2

＜

1

2

∴α＜60°，
同理可證異面直線A₁B與B₁D₁所成的角為β，β＞60°
故選B．

點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．