Question

3．若直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個(gè)頂點(diǎn)都在直徑為$\sqrt{61}$的球面上，且AB=3，AC=4，BC=5，點(diǎn)D是棱BB₁的中點(diǎn)，則AD與平面BCC₁B₁所成的角的正弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 由已知AB⊥AC，從而矩形BCC₁B₁的對(duì)角線長(zhǎng)即為球直徑，進(jìn)而CC₁=6，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AD與平面BCC₁B₁所成的角的正弦值．

解答 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個(gè)頂點(diǎn)都在直徑為$\sqrt{61}$的球面上，
且AB=3，AC=4，BC=5，點(diǎn)D是棱BB₁的中點(diǎn)，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．
取BC中點(diǎn)E，則OE⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)，
矩形BCC₁B₁的對(duì)角線長(zhǎng)即為球直徑，
∴$\sqrt{25+C{{C}_{1}}^{2}}=\sqrt{61}$，解得CC₁=6，
以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），D（3，0，3），B（3，0，0），B₁（3，0，6），C（0，4，0），
$\overrightarrow{AD}$=（3，0，3），$\overrightarrow{BC}$=（-3，4，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，6），
設(shè)平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-3x+4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=6z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，3，0），
設(shè)AD與平面BCC₁B₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{12}{\sqrt{18}•\sqrt{25}}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．
∴AD與平面BCC₁B₁所成的角的正弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．