【題目】如圖所示的四棱錐中,底面為矩形, , 的中點為, ,異面直線與所成的角為, 平面.
(1)證明: 平面;
(2)求二面角的余弦值的大小.
【答案】(1)見解析.(2).
【解析】試題分析:(1)由已為矩形,可得為的中點.結合為的中點,根據(jù)三角形中位線定理可得, ,由線面平行的判定定理可得結果;(2)由(1)可知,所以或,先證明,可得,因為, , 兩兩垂直,分別以, , 所在直線為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標系,平面的一個法向量為,再求出平面的一個法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得結果.
試題解析:(1)由已知為矩形,且,所以為的中點.
又因為為的中點,所以在中, ,又因為平面, 平面,
因此平面.
(2)由(1)可知,所以異面直線與所成的角即為 (或的補角).
所以或.
設,在中, , ,又由平面可知,且為中點,因此,此時,所以,所以為等邊三角形,所以,即,因為, , 兩兩垂直,分別以, , 所在直線為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標系,如圖所示,
則, , , ,所以, .
由, , ,可得平面,可取平面的一個法向量為.
設平面的一個法向量為,由
令,所以.
因此 ,又二面角為銳角,故二面角的余弦值為.
【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關系轉化為向量關系;(5)根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.
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【題目】十九大以來,國家深入推進精準脫貧,加大資金投入,強化社會幫扶,為了更好的服務于人民,派調查組到某農村去考察和指導工作.該地區(qū)有200戶農民,且都從事水果種植,據(jù)了解,平均每戶的年收入為3萬元.為了調整產業(yè)結構,調查組和當?shù)卣疀Q定動員部分農民從事水果加工,據(jù)估計,若能動員戶農民從事水果加工,則剩下的繼續(xù)從事水果種植的農民平均每戶的年收入有望提高,而從事水果加工的農民平均每戶收入將為萬元.
(1)若動員戶農民從事水果加工后,要使從事水果種植的農民的總年收入不低于動員前從事水果種植的農民的總年收入,求的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,要使這200戶農民中從事水果加工的農民的總收入始終不高于從事水果種植的農民的總收入,求的最大值.
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【題目】A袋中有1個紅球和1個黑球,B袋中有2個紅球和1個黑球,A袋中任取1個球與B袋中任取1個球互換,這樣的互換進行了一次,求:
(1)A袋中紅球恰是1個的概率;
(2)A袋中紅球至少是1個的概率.
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【題目】利用獨立性檢驗的方法調查高中生性別與愛好某項運動是否有關,通過隨機調查200名高中生是否愛好某項運動,利用列聯(lián)表,由計算可得,參照下表:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5,024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
得到的正確結論是( )
A. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”
B. 有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”
C. 在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關”
D. 在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關”
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【題目】口袋里裝有1紅,2白,3黃共6個形狀相同的小球,從中取出2球,事件“取出的兩球同色”,“取出的2球中至少有一個黃球”,“取出的2球至少有一個白球”,“取出的兩球不同色”,“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為________.
①與為對立事件;②與是互斥事件;③與是對立事件:④;⑤.
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【題目】近年來,共享單車已經悄然進入了廣大市民的日常生活,并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地服務民眾,某共享單車公司在其官方中設置了用戶評價反饋系統(tǒng),以了解用戶對車輛狀況和優(yōu)惠活動的評價.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出條較為詳細的評價信息進行統(tǒng)計,車輛狀況的優(yōu)惠活動評價的列聯(lián)表如下:
(1)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為優(yōu)惠活動好評與車輛狀況好評之間有關系?
(2)為了回饋用戶,公司通過向用戶隨機派送騎行券.用戶可以將騎行券用于騎行付費,也可以通過轉贈給好友.某用戶共獲得了5張騎行券,其中只有2張是一元券.現(xiàn)該用戶從這5張騎行券中隨機選取2張轉贈給好友,求選取的張中至少有1張是一元券的概率.
參考公式:,其中.
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【題目】光伏發(fā)電是將光能直接轉變?yōu)殡娔艿囊环N技術,具有資源的充足性及潛在的經濟性等優(yōu)點,在長期的能源戰(zhàn)略中具有重要地位,2015年起,國家能源局、國務院扶貧辦聯(lián)合在6省的30個縣開展光伏扶貧試點,在某縣居民中隨機抽取50戶,統(tǒng)計其年用量得到以下統(tǒng)計表.以樣本的頻率作為概率.
用電量(單位:度) | |||||
戶數(shù) | 7 | 8 | 15 | 13 | 7 |
(Ⅰ)在該縣居民中隨機抽取10戶,記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為,求的數(shù)學期望;
(Ⅱ)在總結試點經驗的基礎上,將村級光伏電站穩(wěn)定為光伏扶貧的主推方式.已知該縣某自然村有居民300戶.若計劃在該村安裝總裝機容量為300千瓦的光伏發(fā)電機組,該機組所發(fā)電量除保證該村正常用電外,剩余電量國家電網以0.8元/度的價格進行收購.經測算每千瓦裝機容量的發(fā)電機組年平均發(fā)電1000度,試估計該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接受益多少元?
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【題目】△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量=(a,b)與=(cosA,sinB)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面積.
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【題目】已知函數(shù)的圖象上的一個最低點為,周期為.
(1)求的解析式;
(2)將的圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),然后再將所得的圖象沿軸向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象,寫出函數(shù)的解析式;
(3)當時,求函數(shù)的最大值和最小值.
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