Question

已知函數(shù)g(x)=

1

x

+lnx，f(x)=mx-

m-1

x

-lnx(m∈R)．
（Ⅰ）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)h(x)=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，即y′≥0或y′≤0在[1，+∞）上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值處理；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）-h（x），則在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，等價于x∈[1，e]時，F(xiàn)（x）_max＞0，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值問題．

解答：解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx，y′=

mx2-2x+m

x2

，
由于y=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立，
即m≥

2x

x2+1

或者m≤

2x

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，
而0＜

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，故m≥1或者m≤0，
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(xiàn)（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

，
①當m≤0時，由x∈[1，e]得，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
所以在[1，e]上不存在一個x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）；            
②當m＞0時，F(xiàn)′（x）=m+

m

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

mx2-2x+m+2e

x2

，
因為x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，所以F′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，故F（x）在x∈[1，e]上單調(diào)遞增，
F（x）_max=me-

m

e

-4，只要me-

m

e

-4＞0，解得m＞

4e

e2-1

，
故m的取值范圍是（

4e

e2-1

，+∞）．

點評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．