Question

已知

a

•

b

=0，向量

c

滿足（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，|

a

-

b

|=5，|

a

-

c

|=3，則

a

•

c

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：

a

•

b

=0，可設(shè)

a

=（m，0），

b

=（0，n），

c

=（x，y），由于|

a

-

b

|=5，可得m²+n²=25，記此圓為⊙M．根據(jù)（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，可得點(diǎn)C也在⊙M上．由于|

a

-

c

|=3，|

AC

|=3，可得|

BC

|=4．過點(diǎn)C分別作CD⊥y軸，CE⊥x軸，垂足分別為D，E．設(shè)∠CBD=θ，則∠OAC=θ．則x=4sinθ=m-3cosθ，可得

a

•

c

=mx=4sinθ（4sinθ+3cosθ）=10sin（2θ-φ）+8即可得出．

解答： 解：由

a

•

b

=0，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
可設(shè)

a

=（m，0），

b

=（0，n），

c

=（x，y），
∵|

a

-

b

|=5，
∴m²+n²=25．記此圓為⊙M．
∵（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，
∴

c

2-

c

•(

a

+

b

)=0，
∴x²+y²-mx-ny=0，
化為(x-

m

2

)2+(y-

n

2

)2=

25

4

．
說明點(diǎn)C在⊙M上．

BC

=

c

-

b

，

AC

=

c

-

a

，
∵|

a

-

c

|=3，
∴|

AC

|=3，
∴|

BC

|=4．
過點(diǎn)C分別作CD⊥y軸，CE⊥x軸，垂足分別為D，E．
設(shè)∠CBD=θ，則∠OAC=θ．
則x=4sinθ=m-3cosθ，
∵

a

•

c

=mx=4sinθ（4sinθ+3cosθ）
=16sin²θ+12sinθcosθ
=8（1-cos2θ）+6sin2θ
=10sin（2θ-φ）+8≤18．
∴

a

•

c

的最大值為18．
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、模的計(jì)算公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、三角函數(shù)代換、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．