Question

若-3≤log_0.5x≤

3

2

，求函數(shù)f（x）=（log₂x-1）•log₂

x

4

的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法設(shè)t=log₂x，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵-3≤log_0.5x≤

3

2

，
∴-3≤-log₂x≤

3

2

，
即-

3

2

≤log₂x≤3，
f（x）=（log₂x-1）•log₂

x

4

=（log₂x-1）•（log₂x-2），
設(shè)t=log₂x，則-

3

2

≤t≤3，
則函數(shù)等價為g（t）=（t-1）•（t-2）=t²-3t+2=（t-

3

2

）²-

1

8

，
∴當(dāng)t=

3

2

時，函數(shù)取得最小值為g（

3

2

）=-

1

8

，
當(dāng)t=-

3

2

時，函數(shù)取得最大值為g（-

3

2

）=

71

8

．

點評：本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用對數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．注意使用換元法．