Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為a，E為棱CC₁上的動點．
（1）求證：A₁E⊥BD；
（2）當(dāng)E恰為棱CC₁的中點時，求證：平面A₁BD⊥平面EBD．

Answer 1

【答案】分析：（1）連AC，A₁C₁，可先根據(jù)線面垂直的判定定理可證BD⊥平面ACC₁A₁，A₁E?平面ACC₁A₁，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BD⊥A₁E；
（2）設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點，連A₁O，EO，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠A₁OE即為二面角A₁-BD-E的平面角，根據(jù)勾股定理可求出
∠A₁EO=90°，根據(jù)面面垂直的定義可知平面A₁BD⊥平面BDE．
解答：證明：（1）連AC，A₁C₁
∵正方體AC₁中，AA_1⊥平面ABCD∴AA_1⊥BD
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA₁=A
∴BD⊥平面ACC₁A₁且E∈CC₁∴A₁E?平面ACC₁A₁∴BD⊥A₁E
（2）設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點，連A₁O，EO
由（1）得BD⊥平面A₁ACC₁∴BD⊥A₁O，BD⊥EO
∴∠A₁OE即為二面角A₁-BD-E的平面角
∵AB=a，E為CC₁中點∴A₁O=，EO=，A₁E=
∴A₁O²+OE²=A₁E²∴A₁O⊥OE∴∠A₁OE=90°
∴平面A₁BD⊥平面BDE
點評：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查線線垂直、線面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．