Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1，（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
（2）設(shè)bn=nan+1 ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）設(shè)cn= ，求證：c1+c2+…+cn＜ ．（n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=

（2）解：由（1）可知bn=nan+1=n2n，

則Tn=121+222+323+…+n2n，

2Tn=122+223+…+（n﹣1）2n+n2n+1，

兩式相減，得：﹣Tn=21+22+23+…+2n﹣n2n+1

=（1﹣n）2n+1﹣2，

∴Tn=2+（n﹣1）2n+1

（3）證明：由（1）可知cn= = ，

當(dāng)n=1時(shí)，c1= ＜ ，

當(dāng)n≥2時(shí)，c1+c2+…+cn= + + +…+

＜ + + +…+

= + + +…+

= ﹣

＜ ，

綜上所述，c1+c2+…+cn＜ （n∈N*）

【解析】（1）當(dāng)n≥2時(shí)利用an=Sn﹣Sn﹣1計(jì)算，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；（2）通過(guò)（1）可知bn=n2n ， 進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論；（3）通過(guò)（1）可知數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，分n=1與n≥2兩種情況討論即可，當(dāng)n≥2時(shí)通過(guò)放縮cn= ＜ 即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．