Question

3．已知a₁=1，a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+2}{2{a}_{n}-1}$，求a_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+2}{2{a}_{n}-1}$變形可知a_n+1-2=$\frac{（{a}_{n}-2）^{2}}{2{a}_{n}-1}$、a_n+1+1=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{2{a}_{n}-1}$，兩式相除、兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)整理可知lg$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=2lg$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}+1}$、lg$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}+1}$=2lg$\frac{{a}_{n-2}-2}{{a}_{n-2}+1}$、…、lg$\frac{{a}_{2}-2}{{a}_{2}+1}$=2lg$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}$，進(jìn)而可知$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=$（\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}）^{{2}^{n-1}}$，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+2}{2{a}_{n}-1}$，
∴a_n+1-2=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+2}{2{a}_{n}-1}$-2=$\frac{（{a}_{n}-2）^{2}}{2{a}_{n}-1}$，
a_n+1+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+2}{2{a}_{n}-1}$+1=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{2{a}_{n}-1}$，
兩式相除得：$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n+1}+1}$=$（\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}）^{2}$，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：lg$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n+1}+1}$=2lg$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$，
∴l(xiāng)g$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=2lg$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}+1}$，lg$\frac{{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}+1}$=2lg$\frac{{a}_{n-2}-2}{{a}_{n-2}+1}$，…，lg$\frac{{a}_{2}-2}{{a}_{2}+1}$=2lg$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}$，
∴l(xiāng)g$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=2^n-1lg$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}$，即$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=$（\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}）^{{2}^{n-1}}$，
又∵$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1-2}{1+1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}+1}$=$（-\frac{1}{2}）^{{2}^{n-1}}$，
整理得：a_n=2+3•$\frac{（-\frac{1}{2}）^{{2}^{n-1}}}{1-（-\frac{1}{2}）^{{2}^{n-1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列是的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．