Question

設函數f（x）=

lnx+x2-a

，若存在b∈[1，e]，使得f（f（b））=b，則實數a的范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：根據題意，問題轉化為“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，即y=f（x）的圖象與函數y=f^-1（x）的圖象有交點，且交點的橫坐標b∈[1，e]．由y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關于直線y=x對稱，得到函數y=f（x）的圖象與y=x有交點，且交點橫坐標b∈[1，e]．由此能得到實數a的取值范圍．

解答： 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b）
其中f^-1（x）是函數f（x）的反函數
因此命題“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，轉化為
“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的圖象與函數y=f^-1（x）的圖象有交點，
且交點的橫坐標b∈[1，e]，
∵y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關于直線y=x對稱，
∴y=f（x）的圖象與函數y=f^-1（x）的圖象的交點必定在直線y=x上，
由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點，且交點橫坐標b∈[1，e]，
根據

lnx+x2-a

=x，化簡整理得lnx=a
記F（x）=lnx，G（x）=a，
由題意得

F(1)≤a F(e)≥a

，即ln1≤a≤lne，
解得0≤a≤1．
即實數a的取值范圍為[0，1]．
故答案為：[0，1]．

點評：本題給出含有根號與指數式的基本初等函數，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數a的取值范圍．著重考查了基本初等函數的圖象與性質、函數的零點存在性定理和互為反函數的兩個函數的圖象特征等知識，屬于中檔題．