Question

數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n與a_n之間滿足a_n=

2 S 2 n

2Sn-1

（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{

1

Sn

}的通項公式；
（2）設(shè)存在正數(shù)k，使（1+S₁）（1+S₂）..（1+S_n）≥k

2n+1

對一切n∈N^×都成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列的性質(zhì)a_n=S_n-S_n-1及a_n=

2 S 2 n

2Sn-1

（n≥2）得到關(guān)系S_n-S_n-1=

2S 2 n

2Sn-1

，對其進(jìn)行變形整理出可以判斷數(shù)列為等差數(shù)列的形式即可．
（2）欲證明不等式一切n∈N^×都成立須證明

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

的單調(diào)性，求出其最值由（1）知，此式中的各個因子符號為正，故研究其單調(diào)性可以借助作商法來研究，故先構(gòu)造函數(shù)，F(xiàn)（n）=

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

，然后再令[F（n）]_min≥k即可．

解答：解：（1）證明：∵n≥2時，a_n=S_n-S_n-1（1分）
∴S_n-S_n-1=

2S 2 n

2Sn-1

，∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2S_n²，
∴=S_n-1-S_n=2S_nS_n-1（3分）
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），（5分）
數(shù)列{

1

Sn

}是以

1

S1

=1為首項，以2為公差的等差數(shù)列．（6分）
（2）由（1）知

1

Sn

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，∴Sn+1=

1

2n+1

（7分）
設(shè)F（n）=

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

，
則

F(n+1)

F(n)

=

(1+Sn+1) 2n+1

2n+3

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1（10分）
∴F（n）在n∈N^*上遞增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k
∵[F（n）]_min=F（1）=

2

3

3

，∴0＜k≤

2

3

3

，k_max=

2

3

3

．（12分）

點評：本小題考查等差數(shù)列通項與前n項和關(guān)系以及數(shù)列與不等式相結(jié)合的有關(guān)問題．本題技巧性強(qiáng)，（1）中的變形證明及（2）中的轉(zhuǎn)化為函數(shù)來判斷單調(diào)性都需要較高的知識組合能力及較高的觀察能力．