Question

ABCD是矩形，AB=a，BC=b（a＞b），沿對角線AC把△ADC折起，使AD⊥BC．
（1）求證：BD是異面直線AD與BC的公垂線；
（2）求BD的長．

Answer 1

分析：（1）由于ABCD是矩形，則AB⊥BC，因為AD⊥BC，故BC⊥平面ABD，即BC⊥BD；又AD⊥DC，AD⊥BC，即AD⊥平面BCD，即BD⊥AD，即可得證．
（2）由（1）得，在直角三角形ABD中，AB=a，BC=b（a＞b），得BD=

a2-b2

．

解答：解：（1）由于ABCD是矩形，則AB⊥BC，
因為AD⊥BC，故BC⊥平面ABD，即BC⊥BD；
又AD⊥DC，AD⊥BC，即AD⊥平面BCD，
即BD⊥AD，
又易知AD與BC是異面直線．
故可得BD是異面直線AD與BC的公垂線．
（2）由（1）得，在直角三角形ABD中，
AB=a，BC=b（a＞b），
故得BD=

a2-b2

．

點評：此題主要考查異面直線的角度及余弦值計算．