Question

如圖，已知：ABCD是矩形，AB=1，BC=2，PD⊥平面ABCD，且PD=3．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求直線PB與平面ABCD所成角的大�。�
（3）求異面直線PB與AC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由ABCD是矩形，AB=1，BC=2，PD⊥平面ABCD，且PD=3，能求出V_P-ABCD．
（2）PD⊥ABCD，連接BD，則∠PBD的大小等于直線PB與平面ABCD所成角的大�。�
（3）作BE∥AC，交DC延長線于E，則∠PBE就是異面直線PB與AC所成角（或補角），由PB=

14

，BE=

5

，PE=

13

，能求出異面直線PB與AC所成角的大�。�

解答：解：（1）∵ABCD是矩形，
B=1，BC=2，PD⊥平面ABCD，且PD=3，
∴V_P-ABCD=

1

3

×1 ×2×3=2．…（3分）
（2）PD⊥ABCD，
連接BD，
則∠PBD的大小等于直線PB與平面ABCD所成角的大��；…（5分）
tan∠PBD=

3 5

5

，
所以，所求角的大小為：arctan

3 5

5

．…（8分）
（3）作BE∥AC，交DC延長線于E，
則∠PBE就是異面直線PB與AC所成角（或補角）…（10分）
由PB=

14

，BE=

5

，PE=

13

得：cos∠PBE=

3 70

70

，
所以，異面直線PB與AC所成角的大小為：arccos

3 70

70

；…（15分）

點評：本題考查三棱錐體積的求法和異面直線所成角的大小的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．