Question

【題目】已知函數(shù)，的最大值為.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）當(dāng)時，令，是否存在區(qū)間.使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 時，在單調(diào)增；時, 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時,同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）不存在.

【解析】分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時， 取得極大值，也是最大值，

由，可得結(jié)果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根，進而可得結(jié)果.

詳解：(1) 由題意得，

令，解得，

當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時， 取得極大值，也是最大值，

所以，解得.

（2）的定義域為.

①即,則，故在單調(diào)增

②若,而,故,則當(dāng)時，;

當(dāng)及時，

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

③若,即,同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

（3）由（1）知，

所以，令，則對恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以恒成立，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，

則，

問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根， 即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根，

令， ，則，

設(shè)， ，則對恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

故恒成立，所以，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以方程在區(qū)間內(nèi)不存在兩個不相等的實根.

綜上所述，不存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是.