Question

已知盒中有n個(gè)黑球和m個(gè)白球，連續(xù)不放回地從中隨機(jī)取球，每次取一個(gè)，直至盒中無(wú)球，規(guī)定：第i次取球若取到黑球得2ⁱ，取到白球不得分，記隨機(jī)變量ξ為總的得分?jǐn)?shù)．
（Ⅰ）當(dāng)n=m=2時(shí)，求P（ξ=10）；
（Ⅱ）若m=1，求隨機(jī)變量ξ的期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=m=2時(shí)，ξ=10表示4次中，第1次和第3次取到黑球，即可求出概率；
（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，隨機(jī)變量ξ的取值有：2¹+2²+…+2ⁿ⁺¹-2^k，k=1，2，3，…，n+1，因?yàn)殡S機(jī)變量ξ的取值的概率為

1

n+1

，即可求隨機(jī)變量ξ的期望E（ξ）．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=m=2時(shí)，ξ=10表示4次中，第1次和第3次取到黑球，
所以P（ξ=10）=

A 2 2 A 2 2

4!

=

1

6

；
（Ⅱ）當(dāng)m=1時(shí)，隨機(jī)變量ξ的取值有：2¹+2²+…+2ⁿ⁺¹-2^k，k=1，2，3，…，n+1，
即2ⁿ⁺²-2-2^k，k=1，2，3，…，n+1，
因?yàn)殡S機(jī)變量ξ的取值的概率為

1

n+1

，
所以期望E（ξ）=

1

n+1

[（2ⁿ⁺²-2-2）+…+（2ⁿ⁺²-2-2ⁿ⁺¹）]=

n(2n+2-2)

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查隨機(jī)變量ξ的期望E（ξ），考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．