Question

16．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），離心率是$\frac{1}{2}$，原點(diǎn)與C直線x=1的交點(diǎn)圍成的三角形面積是$\frac{3}{2}$．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l過點(diǎn)（${\frac{2}{7}$，0）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），D是橢圓C的右頂點(diǎn)，求∠ADB是定值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，點(diǎn)P（1，y）（y＞0），根據(jù)三角形的面積公式即可求得y值，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{4}^{2}}+\frac{{y}^{3}}{^{2}}=1$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）當(dāng)l斜率不存在時，$A（{\frac{2}{7}，\frac{12}{7}}），B（{\frac{2}{7}，-\frac{12}{7}}）$，$∠ADB=\frac{π}{2}$；當(dāng)l斜率存在時，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理y₁+y₂及y₁•y₂，求得$\overrightarrow{DA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{DB}$=（x₂-2，y₂），$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+y₁•y₂+4=0，$∠ADB=\frac{π}{2}$，∠ADB是定值．．

解答 解：（1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：a²=$\frac{3}{4}$b²，
由直線x=1與橢圓相交，交點(diǎn)P（1，y）（y＞0），
由題意可知：$\frac{1}{2}$•1•2y=$\frac{3}{2}$，解得：y=$\frac{3}{2}$，
將P（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程，$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{4}^{2}}+\frac{{y}^{3}}{^{2}}=1$，解得b²=3，a²=4，
∴橢圓的方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，．
（2）當(dāng)l斜率不存在時，$A（{\frac{2}{7}，\frac{12}{7}}），B（{\frac{2}{7}，-\frac{12}{7}}）$，
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}=0$，
∴$∠ADB=\frac{π}{2}$；
當(dāng)l斜率存在時，設(shè)直線$l：x=my+\frac{2}{7}或y=k（{x-\frac{2}{7}}）$，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+\frac{2}{7}\\ 4{y^2}+3{x^2}-12=0\end{array}\right.$得（196+147m²）y²+84my-576=0，
∵l與C有兩個交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△＞0，且${y_1}，{y_2}=\frac{-576}{{196+147{m^2}}}，{y_1}+{y_2}=\frac{-84m}{{196+147{m^2}}}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{-84{m^2}}}{{196+147{m^2}}}+\frac{4}{7}，{x_1}{x_2}=\frac{{-600{m^2}}}{{196+147{m^2}}}+\frac{4}{49}$，
∵$\overrightarrow{DA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{DB}$=（x₂-2，y₂），
$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+y₁•y₂+4，
=$\frac{-432{m}^{2}-576}{196+147{m}^{2}}$+$\frac{144}{49}$，
=$\frac{-432{m}^{2}-576+432{m}^{2}+576}{196+147{m}^{2}}$=0，
∴$∠ADB=\frac{π}{2}$，
綜上$∠ADB=\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查計算能力，屬于中檔題．