Question

4．已知函數(shù)f（x）=4cos?x•sin（?x+$\frac{π}{4}}$）（?＞0）的最小正周期為π．
（1）求?的值；
（2）討論f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）先利用和角公式再通過二倍角公式，降次升角，化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的周期，求實(shí)數(shù)ω的值；
（2）由于x是[0，$\frac{π}{2}$]范圍內(nèi)的角，得到2x+$\frac{π}{4}$的范圍，然后通過正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)性．

解答 解：（1）f（x）=4cos?x•sin（?x+$\frac{π}{4}}$）（?＞0）=2$\sqrt{2}$sinωx•cosωx+2$\sqrt{2}$cos²ωx
=$\sqrt{2}$（sin2ωx+cos2ωx）+$\sqrt{2}$=2sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，
所以 T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，
因?yàn)?≤x≤$\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
當(dāng)$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$時(shí)，即0≤x≤$\frac{π}{8}$時(shí)，f（x）是增函數(shù)，故f（x）的最小值是2$\sqrt{2}$，最大值是2+$\sqrt{2}$；
當(dāng)$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$時(shí)，即$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）是減函數(shù)，故f（x）的最小值是0，最大值是2+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，恒等關(guān)系的應(yīng)用，注意三角函數(shù)值的變換，考查計(jì)算能力，�？碱}型．