Question

18．定義平面點集R²={x，y）|x∈R，y∈R丨，對于集合M⊆R²，若對?P₀∈M，?r＞0，使得{P∈R²||PP₀|＜r}⊆M，則稱集合從為“開集”．給出下列命題：
①集合{x，y）|（x-1）²+（y-3）²＜1}是開集；
②集合{x，y）|x≥0，y＞0}是開集；
③開集在全集R²上的補集仍然是開集；
④兩個開集的并集是開集．
其中你認為正確的所有命題的序號是①④．

Answer 1

分析 根據(jù)新定義進行計算后判斷，弄清開集的定義是解決本題的關鍵．即所選的集合需要滿足存在以該集合內任意點為圓心，任意正實數(shù)為半徑的圓內部分均在該集合內．初步確定該集合不含邊界

解答 解：對于①，集合{x，y）|（x-1）²+（y-3）²＜1}表示以點（0，3）為圓心，1為半徑的圓面（不含邊界），在該平面點集A中的任一點（x₀，y₀），則該點到圓周上的點的最短距離為d，取r=d，則滿足，故正確；
對于②，在x=0，y＞0的曲線上任意取點（x₀，y₀），以任意正實數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足條件，故錯；
對于③，依題意可確定開集不含邊界，開集在全集R²上的補集有邊界，不是開集，故錯；
對于④，兩個開集的并集滿足開集的定義，故正確．
故答案為：①④．

點評 本題屬于集合的新定義型問題，考查學生即時掌握信息，解決問題的能力．正確理解好集的定義是解決本題的關鍵，屬于中檔題．