Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₄s₄=-14，s₅-a₅=-14，其中s_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，曲線c_n的方程是

x2

|an|

+

y2

4

=1，直線l的方程是y=x+3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）判斷c_n與 l 的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)直線l 與曲線c_n相交于不同的兩點(diǎn)A_n，B_n時(shí)，令M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，求M_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列{a_n}中，a₄S₄=-14，S₅-a₅=-14，可求首項(xiàng)與公差，從而可求求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將曲線C_n與l的方程聯(lián)立，利用判別式可求解；
（3）利用（2）的結(jié)論，表達(dá)出M_n=（|a_n|+4）|A_nB_n|，再求M_n的最小值．

解答：解：（1）由題意可得S₄=s₅-a₅=-14，故a₄S₄=-14a₄=-14，即a₄=1，
設(shè)數(shù)列的公差為d，則

a4=a1+3d=1 S4=4a1+ 4×3 2 d=-14

，
解得

a1=-8 d=3

，故a_n=a₁+（n-1）d=3n-11；
（2）聯(lián)立方程

x2 |an| + y2 4 =1 y=x+3

，消掉y并整理得（|an|+4）x2+6|an|x+5|an|=0，
由題意知△=16（|a_n|²-5|a_n|）＞0，即|a_n|＞5，
∴3n-11＞5或3n-11＜-5，即n＞

16

3

或n＜2，
即n≥6或n=1時(shí)，直線l與曲線C_n相交于不同的兩點(diǎn)．
（3）由（2）當(dāng)n≥6或n=1時(shí)，直線l與曲線C_n相交于不同的兩點(diǎn)．
M_n=（|a_n|+4）•|A_nB_n|=（|an+4|）•

2

•

16(|an|2-5an)

|an|+4

=4

2

•

(|an|- 5 2 )2- 25 4

=

4 2 • 9(n- 9 2 )2- 25 4    ，n≥6 16 3       n=1

，
∴當(dāng)n=6時(shí)，M_n的最小值為8

7

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，并借助于判別式進(jìn)行解決，屬中檔題．