Question

在四棱錐P-ABCD中，PC⊥面ABCD，DC∥AB，DC=1，AB=4，BC=2

3

，∠CBA=30°．
（I）求證：AC⊥PB；
（II）當PD=2時，求此四棱錐的體積．

Answer 1

分析：（I）先在△ABC中，利用余弦定理，得出AC²+BC²=AB²，從而得出AC⊥BC，再結(jié)合PC⊥AC，而BC、PC是平面PBC內(nèi)的相交直線，得到AC⊥平面PBC，最后根據(jù)線面垂直的定義，可證出AC⊥PB；
（II）過點C作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，利用三角函數(shù)的定義，得到CE=

1

2

BC=

3

，從而可得梯形ABCD的面積為

5 3

2

．再結(jié)合PC⊥平面ABCD，在Rt△PCD中，利用勾股定理算出PC=

3

，最后利用錐體的體積公式，得V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD•PC=

1

3

•

5 3

2

•

3

=

5

2

．

解答：解：（I）∵△ABC中，AB=4，BC=2

3

，∠CBA=30°，
∴根據(jù)余弦定理，得AC²=AB²+BC²-2AB×BCcos∠CBA=4
∴AC²+BC²=4+12=16=AB²
∴AC⊥BC
又∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PC⊥AC
∵BC、PC是平面PBC內(nèi)的相交直線
∴AC⊥平面PBC
∴結(jié)合BC?平面PBC，可得AC⊥BC
（II）過點C作CE⊥AB于E，
∵Rt△BCE中，BC=2

3

，∠ECB=30°
∴CE=

1

2

BC=

3

可得梯形ABCD的面積為：S_ABCD=

1

2

(AB+CD)•CE=

5 3

2

又∵PC⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PC⊥CD，Rt△PCD中，PC=

PD2-CD2

=

3

所以，根據(jù)錐體的體積公式，得V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD•PC=

1

3

•

5 3

2

•

3

=

5

2

，
即此四棱錐的體積的體積為

5

2

．

點評：本題以底面為梯形、一條側(cè)棱垂直于底的四棱錐為例，通過證明線線垂直和求體積，著重考查了空間垂直關(guān)系的證明與體積公式等知識點，屬于中檔題．