Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）
（1）若函數y=f（x）和y=g（x）的圖象無公共點，試求實數a的取值范圍；
（2）若存在兩個實數x₁，x₂且x₁≠x₂，滿足f（x₁）=g（x₁），f（x₂）=g（x₂），求證x₁x₂＞e²．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）由條件可知方程f（x）=g（x）無實數解，即lnx=ax無實數解，令h（x）=

lnx

x

，應用導數求出h（x）的最值，即可得到a的取值范圍；
（2）由條件得lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），故推出x₁•x₂＞e²等價于ln

x1

x2

＞

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

再令令

x1

x2

=t，x₁•x₂＞e²等價于lnt＞

2(t-1)

t+1

，構造g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，應用導數，判斷單調性，得到g（t）在（1，+∞）上遞增，從而得證．

解答： （1）解：∵函數y=f（x）和y=g（x）的圖象無公共點，
∴方程f（x）=g（x）無實數解，即lnx=ax無實數解，
則a=

lnx

x

，令h（x）=

lnx

x

，h′（x）=

1-lnx

x2

，
當x＞e，h′（x）＜0；當0＜x＜e，h′（x）＞0．
故x=e，h（x）取極大值，也為最大值

1

e

．
∴實數a的取值范圍是：（

1

e

，+∞）．
（2）證明：令x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=g（x₁），f（x₂）=g（x₂），
∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴l(xiāng)nx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），
∴x₁•x₂＞e²等價于lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2?a＞

2

x1+x2

，
即

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，
令

x1

x2

=t，則t＞1，x₁•x₂＞e²等價于lnt＞

2(t-1)

t+1

，
令g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，g′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上遞增，
即有g（t）＞g（1）=0，即lnt＞

2(t-1)

t+1

成立．
故x₁•x₂＞e²．

點評：本題主要考查了導數在函數單調性和函數極值、最值中的應用，以及構造函數應用導數證明不等式，屬中檔題．