已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+
1
2
x2-ax+1(a>0).
(1)求函數(shù)y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)當(dāng)a>1時,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由導(dǎo)數(shù)的定義,導(dǎo)數(shù)在點(0,f(0))處的函數(shù)值,即為切線的斜率,再由直線的點斜式寫出方程,
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由f′(x)>0解得x的范圍,即是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,由f′(x)<0解得x的范圍,即是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,從而求出極值.
解答: 解:(1)f(0)=1,f′(x)=
a
x+1
+x-a
=
x(x-a+1)
x+1
,f′(0)=0
∴函數(shù)y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1;
(2)函數(shù)的定義域為(-1,+∞),令f′(x)=0,得
x(x-a+1)
x+1
=0,解得x=0,x=a-1
∵a>1,∴a-1>0
當(dāng)x∈(-1,0)和(a-1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(0,a-1)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)和(a-1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a-1),
極大值為f(0)=1,極小值為f(a-1)=alna-
1
2
a2+
3
2
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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已知拋物線M:y2=2px( p>0 )上一個橫坐標為-3的點到其焦點的距離為4,過點P(2,0)且與x軸垂直的直線l1與拋物線M相交于A、B兩點,過點P且與x軸不垂直的直線l2與拋物線M相交于C、D兩點,直線BC與DA相交于點E.
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x2
4
+
y2
3
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(2)探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項各有什么特點?并加以說明.

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x2
a2
+
y2
b2
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