Question

已知函數(shù)f(x)＝ln x－.

(1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；

(2)若f(x)<x²在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【解】(1)由題意知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.

∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．

(2)∵f(x)<x²，∴l(xiāng)n x－<x².又x>0，∴a>xln x－x³.

令g(x)＝xln x－x³，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x²，

h′(x)＝－6x＝

∵x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)<0，

∴h(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是減函數(shù)．

g(x)<g(1)＝－1，∴當(dāng)a≥－1時(shí)，f(x)<x²在(1，＋∞)上恒成立．

那a的取值范圍是[－1，＋∞)．