Question

某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者把開(kāi)始六個(gè)月試銷(xiāo)A、B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤(rùn)列成下表:

投資A種商品金額(萬(wàn)元)	1	2	3	4	5	6
獲純利潤(rùn)(萬(wàn)元)	0.65	1.39	1.85	2	1.84	1.40
投資B種商品金額(萬(wàn)元)	1	2	3	4	5	6
獲純利潤(rùn)(萬(wàn)元)	0.25	0.49	0.76	1	1.26	1.51

該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備下月投入12萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種產(chǎn)品,但不知投入A、B兩種商品各多少才最合算.請(qǐng)你幫助制定一個(gè)資金投入方案,使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大利潤(rùn),并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者下月可獲得的最大純利潤(rùn).(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)

Answer 1

思路分析：本題主要考查選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題和處理數(shù)據(jù)的能力.畫(huà)出散點(diǎn)圖，調(diào)用相關(guān)函數(shù)的知識(shí)，猜測(cè)出函數(shù)模型，然后解出函數(shù)解析式來(lái)處理問(wèn)題.

解：設(shè)投資額為x萬(wàn)元時(shí)，獲得的利潤(rùn)為y萬(wàn)元.在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖并依次連接各點(diǎn)，如下圖所示，

    觀察散點(diǎn)圖可知圖像接近直線和拋物線，因此可考慮用二次函數(shù)描述投入A這種商品的利潤(rùn)y萬(wàn)元與投資額x萬(wàn)元之間的函數(shù)關(guān)系；用一次函數(shù)描述投入B這種商品的利潤(rùn)y萬(wàn)元與投資額x萬(wàn)元之間的函數(shù)關(guān)系.

    設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=-a(x-4)²+2(a＞0),一次函數(shù)的解析式為y=bx.

    把x=1,y=0.65代入y=-a(x-4)²+2(a＞0)，得0.65=-a(1-4)²+2,解得a=0.15.

    故前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)關(guān)于月投資A種商品的金額的函數(shù)關(guān)系可近似的用y=-0.15(x-4)²+2表示.

    把x=4,y=1代入y=bx，得b=0.25,

    故前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)關(guān)于月投資B種商品的金額的函數(shù)關(guān)系可近似的用y=0.25x表示.

    令下月投入A、B兩種商品的資金分別為x_a萬(wàn)元,x_b萬(wàn)元時(shí)，總利潤(rùn)為W萬(wàn)元,得

W=y_a+y_b=-0.5(x_a-4)²+2+0.25x_b，其中x_a+x_b=12.

    則W=-0.15(x_a)²+0.15·()²+2.6(0≤x_a≤12).

    則當(dāng)x_a=196≈3.2萬(wàn)元時(shí),W取得最大值,0.15·()²+2.6≈4.1萬(wàn)元,此時(shí)x_b=≈8.8萬(wàn)元.

    即投入A商品3.2萬(wàn)元，投入B商品8.8萬(wàn)元時(shí)，下月可獲得最大純利潤(rùn)4.1萬(wàn)元.