Question

已知圓C：（x-1）²+y²=1，過原點(diǎn)O作圓的任一弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：方法一：設(shè)出P（x，y）將位置關(guān)系CP⊥OQ轉(zhuǎn)化為內(nèi)積為0，用坐標(biāo)表示向量，整理即得軌跡方程．
方法二：注意到：∵∠OPC=90°，動點(diǎn)P在以M(

1

2

，0)為圓心，OC為直徑的圓上，故可以求出圓心與半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
方法三：動弦PQ的方程為y=kx，與圓的方程聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與根系關(guān)系求出中點(diǎn)坐標(biāo)的用參數(shù)k表示的參數(shù)方程，消去參數(shù)k得到點(diǎn)P的軌跡方程．

解答：解：（一）直接法：設(shè)OQ為過O的任一條弦P（x，y）是其中點(diǎn)，圓心C（1，0）
則CP⊥OQ，則

CP

•

OQ

=0
∴（x-1，y）（x，y）=0，即(x-

1

2

)2+y2=

1

4

(0＜x≤1)
（二）定義法：∵∠OPC=90°，動點(diǎn)P在以M(

1

2

，0)為圓心，OC為直徑的圓上，
∴所求點(diǎn)的軌跡方程為(x-

1

2

)2+y2=

1

4

(0＜x≤1)
（三）參數(shù)法：設(shè)動弦PQ的方程為y=kx，由

y=kx (x-1)2+y2=1

得：（1+k²）x²-2x=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ的中點(diǎn)為（x，y），則：x=

x1+x2

2

=

1

1+k2

，y=kx=

k

1+k2

消去k得(x-

1

2

)2+y2=

1

4

(0＜x≤1)．

點(diǎn)評：考查求軌跡方程的方法，同一個(gè)位置關(guān)系，因?yàn)橹�手的角度的不同，轉(zhuǎn)化出了三個(gè)不同的方向，請讀者認(rèn)真體會這三種情況的同與不同．