Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|-x，
（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)，并畫(huà)出該函數(shù)的圖象；
（2）寫(xiě)出該函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間（不要求證明）；
（3）若對(duì)任意x∈R，不等式|2x-1|≥a+x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用零點(diǎn)分段法，可將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到函數(shù)的圖象；
（2）數(shù)形結(jié)合，可得函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意x∈R，不等式|2x-1|≥a+x恒成立，則a≤|2x-1|-x的最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|2x-1|-x=$\left\{\begin{array}{l}-3x+1，x＜\frac{1}{2}\\ x-1，x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
函數(shù)的圖象如下圖所示：

（2）由圖可得：函數(shù)的值域?yàn)椋篬-$\frac{1}{2}$，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為：為：（-∞，$\frac{1}{2}$]，單調(diào)增區(qū)間為：[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（3）若對(duì)任意x∈R，不等式|2x-1|≥a+x恒成立，
則a≤|2x-1|-x恒成立，
即a≤-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，函數(shù)恒成立問(wèn)題，難度中檔．