Question

10．設函數f（x）=$\frac{1}{3}$x-lnx（x＞0），則y=f（x）（　�。�

• A． 在區(qū)間（ $\frac{1}{e}$，1），（1，e）內均有零點
• B． 在區(qū)間（ $\frac{1}{e}$，1），（1，e）內均無零點
• C． 在區(qū)間（ $\frac{1}{e}$，1）內有零點，在區(qū)間（1，e）內無零點
• D． 在區(qū)間（ $\frac{1}{e}$，1），內無零點，在區(qū)間（1，e）內有零點

Answer 1

分析 先對函數f（x）進行求導，再根據導函數的正負情況判斷原函數的增減性可得答案．

解答 解：由題得f′（x）=$\frac{x-3}{3x}$，令f′（x）＞0得x＞3；
令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，
故知函數f（x）在區(qū)間（0，3）上為減函數，在區(qū)間（3，+∞）為增函數，
在點x=3處有極小值1-ln3＜0；
又f（1）=$\frac{1}{3}$＞0，f（e）=$\frac{e}{3}$-1＜0，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{3e}$+1＞0，
故選：D．

點評 本題主要考查導函數的增減性與原函數的單調性之間的關系．即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．