【題目】如圖,在四棱錐中,是平行四邊形,,, ,,,分別是,的中點(diǎn).

)證明:平面平面;

)求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:

(Ⅰ)運(yùn)用幾何法和坐標(biāo)法兩種方法進(jìn)行證明可得結(jié)論.(Ⅱ)運(yùn)用幾何法和坐標(biāo)法兩種方法求解利用坐標(biāo)法求解時(shí),在得到兩平面法向量夾角余弦值的基礎(chǔ)上,通過圖形判斷出二面角的大小,最后才能得到結(jié)論

試題解析:

解法一:()取中點(diǎn),連,

,

是平行四邊形,,

,

是等邊三角形,

,

,

平面

.

分別是的中點(diǎn),

,,

,

,

平面,

平面,

平面平面.

(Ⅱ)由()知,,

是二面角的平面角.

, ,,

中,根據(jù)余弦定理得

二面角的余弦值為

解法二:(Ⅰ)∵是平行四邊形,,

,∴,

是等邊三角形,的中點(diǎn),

,∵,

.

為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

,,,,

設(shè),,

可得,,

的中點(diǎn),

,

,

,

平面,

平面,

平面平面.

(Ⅱ)由()知,,

設(shè)是平面的法向量,

,

,則

是平面的法向量,

,

由圖形知二面角為鈍角,

二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù),根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:

(1)求出表中M,p及圖中a的值;

(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計(jì)高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間(10,15)內(nèi)的人數(shù);

(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線過點(diǎn),其參數(shù)方程為為參數(shù),),以為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為

(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)求已知曲線和曲線交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2017年12月,針對(duì)國內(nèi)天然氣供應(yīng)緊張的問題,某市政府及時(shí)安排部署,加氣站采取了緊急限氣措施,全市居民打響了節(jié)約能源的攻堅(jiān)戰(zhàn).某研究人員為了了解天然氣的需求狀況,對(duì)該地區(qū)某些年份天然氣需求量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了相應(yīng)的折線圖.

(Ⅰ)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合年度天然氣需示量 (單位:千萬立方米)與年份 (單位:年)之間的關(guān)系.并且已知關(guān)于的線性回歸方程是,試確定的值,并預(yù)測(cè)2018年該地區(qū)的天然氣需求量;

(Ⅱ)政府部門為節(jié)約能源出臺(tái)了《購置新能源汽車補(bǔ)貼方案》,該方案對(duì)新能源汽車的續(xù)航里程做出了嚴(yán)格規(guī)定,根據(jù)續(xù)航里程的不同,將補(bǔ)貼金額劃分為三類,A類:每車補(bǔ)貼1萬元,B類:每車補(bǔ)貼2.5萬元,C類:每車補(bǔ)貼3.4萬元.某出租車公司對(duì)該公司60輛新能源汽車的補(bǔ)貼情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:

類型

車輛數(shù)目

10

20

30

為了制定更合理的補(bǔ)貼方案,政府部門決定利用分層抽樣的方式了解出租車公司新能源汽車的補(bǔ)貼情況,在該出租車公司的60輛車中抽取6輛車作為樣本,再從6輛車中抽取2輛車進(jìn)一步跟蹤調(diào)查.若抽取的2輛車享受的補(bǔ)貼金額之和記為“”,求的分布列及期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)滿足

)求橢圓的方程;

)設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于不同的兩點(diǎn)、,試問:在軸上是否存在點(diǎn),使得直線 與直線的斜率的和為定值?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ex-x2+a,x∈R的圖象在x=0處的切線方程為y=bx.(e≈2.718 28)

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)當(dāng)x∈R時(shí),求證:f(x)≥-x2+x;

(3)f(x)>kx對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , 分別是, 的中點(diǎn).

(1)證明:

(2)設(shè)為線段上的動(dòng)點(diǎn),若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)證明線線垂直則需證明線面垂直,根據(jù)題意易得然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,,因此平面,從而得證(2)先找到EH什么時(shí)候最短,顯然當(dāng)線段長的最小時(shí), ,在中, , ,∴,由中, ,∴.然后建立空間直角坐標(biāo)系,寫出兩個(gè)面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值

解析:(1)證明:∵四邊形為菱形, ,

為正三角形.又的中點(diǎn),∴.

,因此.

平面, 平面,∴.

平面 平面,

平面.又平面,∴.

(2)如圖, 上任意一點(diǎn),連接, .

當(dāng)線段長的最小時(shí), ,由(1)知,

平面 平面,故.

中, , , ,

,

中, , ,∴.

由(1)知 , 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又, 分別是, 的中點(diǎn),

可得, , ,

, ,

所以, .

設(shè)平面的一法向量為

因此,

,則,

因?yàn)?/span>, , ,所以平面

為平面的一法向量.又,

所以 .

易得二面角為銳角,故所求二面角的余弦值為.

型】解答
結(jié)束】
20

【題目】2018湖北七市(州)教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考已知橢圓 的左頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,直線與直線垂直,垂足為點(diǎn),且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

I)求橢圓的方程;

II)如圖,若直線 與橢圓交于, 兩點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且四邊形為平行四邊形,求證:四邊形的面積為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對(duì)于下列四個(gè)命題:

p1:x0(0,+∞),;

p2:x0(0,1),lox0>lox0;

p3:x(0,+∞),<lox;

p4:x<lox.

其中的真命題是(  )

A. p1,p3 B. p1,p4

C. p2,p3 D. p2,p4

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