Question

17．如圖，已知DC⊥平面ABC，BE∥CD，是正三角形，AC=CD=2BE，且點(diǎn)M是AD上的一個動點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，求證：ME∥平面ABC；
（2）求證：平面ADE⊥平面ACD．

Answer 1

分析 （1）取AC中點(diǎn)為F，連接BF，證明四邊形MEBF是平行四邊形，可得ME∥BF，即可證明ME∥平面ABC；
（2）證明ME⊥平面ACD，即可證明平面ADE⊥平面ACD．

解答 證明：（1）取AC中點(diǎn)為F，連接BF．
∵AM=MD，AF=FC，∴MF平行且等于$\frac{1}{2}$DC．
∵BE平行且等于$\frac{1}{2}$DC，∴BE平行且等于MF，
∴四邊形MEBF是平行四邊形，
∴ME∥BF．
∵M(jìn)E?平面ABC，BF?平面ABC，
∴ME∥平面ABC；（6分）
（2）∵AF=CF，AB=CB，∴BF⊥AC．
∵DC⊥平面ABC，BF?平面ABC，∴DC⊥BF．
∵DC∩AC=C，∴BF⊥平面ACD．
由（1）中證明可知，ME∥BF．
∴ME⊥平面ACD，
∵M(jìn)E?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACD．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查空間直線和平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化、論證能力．