如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1A的中點(diǎn)，N在AB上，且AN∶NB＝1∶3，求證：C1M⊥MN．

答案：
解析：

　　證明1：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為ａ，則MN＝，

　　C1M＝，C1N＝，

　　∵M(jìn)N２＋MC1２＝NC1２，∴C1M⊥MN．

　　證明2：連結(jié)B1M，∵C1B1⊥平面A1ABB1，

　　∴B1M為C1M在平面A1ABB1上的射影．

　　設(shè)棱長(zhǎng)為a，∵AN＝，AM＝，∴tan∠AMN＝，

　　又tan∠A1B1M＝，則∠AMN＝∠A1B1M，∴B1M⊥MN，

　　由三垂線定理知，C1M⊥MN．


提示：

在空間中作出兩條直線垂直相對(duì)較在平面內(nèi)作兩條直線垂直難．此題C1M與MN是相交直線，一種方法可通過勾股定理來驗(yàn)證它是否垂直，另一方法為：因MN是平面A1ABB1內(nèi)的一條直線，可考慮MC1在平面A1ABB1內(nèi)的射影．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)若Rt△ABC中兩直角邊為a、b，斜邊c上的高為h，則
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
，如圖，在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC，PO為棱錐的高，記M=
1
PO2
，N=
1
PA2
+
1
PB2
+
1
PC2
，那么M、N的大小關(guān)系是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC，PO為棱錐的高，記M=
1
PO2
，N=
1
PA2
+
1
PB2
+
1
PC2
，那么M，N的大小關(guān)系是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)若Rt△ABC中兩直角邊為a、b，斜邊c上的高為h，則
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
，如圖，在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC，PO為棱錐的高，類比平面幾何中的結(jié)論，得到此三棱錐中的一個(gè)正確結(jié)論為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，
（1）求證：AC⊥平面D1DB；
（2）BD1∥平面ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P-ABC的主視圖與左視圖的面積的比值為（　　）

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