Question

11．S_n為{a_n}前n項(xiàng)和對n∈N^*都有S_n=1-a_n，若b_n=log₂a_n，$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}＜m$恒成立，則m的最小值為1．

Answer 1

分析 先根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出a_n的通項(xiàng)公式，再求出b_n的通項(xiàng)公式，根據(jù)裂項(xiàng)求和和放縮法即可求出m的最小值．

解答 解：∵S_n=1-a_n，
∴S_n-1=1-a_n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴2a_n=a_n-1，
∵S₁=1-a₁=a₁，
∴a₁=$\frac{1}{2}$
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴b_n=log₂a_n=-n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$，
∴m＞1-$\frac{1}{n+1}$，
∴m的最小值為1，
故答案為：1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和裂項(xiàng)其和以及放縮法以及不等式恒成立的問題，屬于中檔題．