Question

16．設(shè)不等式$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a$\sqrt{x+y}$對一切x＞0，y＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 原題即a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$對一切x＞0，y＞0恒成立．設(shè)A=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，可得：A²=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$=1+$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤2，即可得出．

解答 解：原題即a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$對一切x＞0，y＞0恒成立．
設(shè)A=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，
A²=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$=1+$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤2，
當(dāng)x=y時等號成立，∵A＞0，
∴0＜A≤$\sqrt{2}$．即A有最大值$\sqrt{2}$．
∴當(dāng)a≥$\sqrt{2}$時，$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a$\sqrt{x+y}$對一切x＞0，y＞0成立．
∴a的最小值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．