Question

7．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）和函數(shù)$g（x）=sin\frac{π}{2}x$，若f（x）與g（x）兩圖象只有3個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{1}{5}，1）∪（1，\frac{9}{2}）$
• B． $（0，\frac{1}{7}）∪（1，\frac{9}{2}）$
• C． $（\frac{1}{7}，\frac{1}{2}）∪（3，9）$
• D． $（\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）∪（5，9）$

Answer 1

分析 在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）和函數(shù)$g（x）=sin\frac{π}{2}x$的圖象，結(jié)合已知數(shù)形結(jié)合可得滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）和函數(shù)$g（x）=sin\frac{π}{2}x$的圖象如下圖所示：

∵f（x）與g（x）兩圖象只有3個(gè)交點(diǎn)，
∴①0＜a＜1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{log}_{a}3＞-1\\{log}_{a}7＜-1\end{array}\right.$，解得：a∈$（\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）$，
②a＞1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{log}_{a}9＞1\\{log}_{a}5＜1\end{array}\right.$，解得：a∈（5，9），
綜上可得：a的取值范圍是$（\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）∪（5，9）$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．