Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， AC⊥BC．

(1) 求證：平面AB₁C₁⊥平面AC₁；
(2) 若AB₁⊥A₁C，求線段AC與AA₁長度之比；
(3) 若D是棱CC₁的中點(diǎn)，問在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB₁C₁？若存在，試確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) 直三棱柱中，所以B₁C₁⊥CC₁; 因?yàn)锳C⊥BC ，所以B₁C₁⊥A₁C₁，所以B₁C₁⊥平面AC₁ ．從而平面AB₁C₁⊥平面AC₁(2) 1：1；(3) 點(diǎn)E位于AB的中點(diǎn)時(shí)，能使DE∥平面AB₁C₁．

試題分析：（1）由于ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以B₁C₁⊥CC₁;
又因?yàn)锳C⊥BC ，所以B₁C₁⊥A₁C₁，所以B₁C₁⊥平面AC₁ ．
由于B₁C₁平面AB₁C₁，從而平面AB₁C₁⊥平面AC₁ ．
（2）由（1）知，B₁C₁⊥A₁C ．所以，若AB₁⊥A₁C，則可
得：A₁C⊥平面AB₁C₁，從而A₁C⊥  AC₁ ．
由于ACC₁A₁是矩形，故AC與AA₁長度之比為1：1．
（3）點(diǎn)E位于AB的中點(diǎn)時(shí)，能使DE∥平面AB₁C₁．
證法一：設(shè)F是BB₁的中點(diǎn)，連結(jié)DF、EF、DE．
則易證：平面DEF//平面AB₁C₁，從而
DE∥平面AB₁C₁．
證法二：設(shè)G是AB₁的中點(diǎn)，連結(jié)EG，則易證EGDC₁.
所以DE// C₁G，DE∥平面AB₁C₁．
點(diǎn)評：題目中涉及到中點(diǎn)D，要得到的關(guān)系恰好是線面平行，因此考慮由中點(diǎn)構(gòu)成的三角形中位線從而實(shí)現(xiàn)線面平行關(guān)系