Question

四名男生和三名女生按要求站成一排,分別有多少種不同的站法?

(1)甲不站在兩端;

(2)甲、乙二人不能站在兩端;

(3)甲、乙二人之間間隔兩個(gè)人;

(4)四名男生站在一起,三名女生站在一起;

(5)男女互相間隔開;

(6)三名女生排列順序一定.

Answer 1

解析:(1)方法一:因?yàn)榧撞辉趦啥?分兩步排隊(duì),首先從甲以外的6個(gè)人中任選兩人站在左、右兩端,有種方法,然后讓剩下的5個(gè)人(其中包括甲)站在中間的5個(gè)位置上,有種方法,因此共有·=3 600種站法.

(注:這里使用的方法稱為“位置分析法”)

方法二:因?yàn)榧撞辉趦啥?分兩步排隊(duì),首先排甲,有種方法,第二步讓其他6人站在其他6個(gè)位置上,有種方法,故有·=3 600種站法.

(注:這里使用的方法稱為“元素分析法”)

方法三:第一步先讓甲以外的人站隊(duì),有種方法,第二步讓甲插入這6個(gè)人之間的空當(dāng)中,有種,故共有·=3 600種站法.

(注:這種解法稱為“插空法”)

方法四:在排隊(duì)時(shí),對(duì)7個(gè)人,不考慮甲的站法要求任意排列,有種方法,但其中包括甲在左端或右端的情況有2種方法,因此共有-2=3 600種站法.

(注:這種解法稱為“間接法”或“排異法”)

(2)方法一:甲、乙兩人為特殊元素,先考慮甲、乙的站法,除兩端的其余5個(gè)不同位置都可排甲、乙,有種排法,再考慮其余5個(gè)元素的排法有種,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,甲、乙二人不能站在兩端的排法有·=5×4×5!=2 400種.

方法二:甲、乙兩人不能站在兩端,應(yīng)包括同時(shí)不在兩端,某一人在兩端,故用排異法,應(yīng)減去兩種情況,同時(shí)在兩端, 有·種,某一人在兩端,有2···種,故有-·-2··=2 400種不同站法.

(3)分三步:第一步,從甲、乙以外的5個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上,有種方法,第二步,把甲、乙及中間2人看作一個(gè)元素與剩下的3個(gè)人作全排列,有種方法,第三步,對(duì)甲、乙進(jìn)行全排列,故共有··=960種不同站法.

(4)方法一:男生站在前4個(gè)位置上有種站法,女生站在后三個(gè)位置上有種站法,男女生站成一排是分兩步完成的,因此這種站法共有·種,而女生站在前三個(gè)位置上,男生站在后四個(gè)位置上也有·種站法,這兩種站法都符合要求,所以四名男生站在一起、三名女生也站在一起的站法共有2·=288種.

方法二:把站在一起的四名男生看作一個(gè)整體,站在一起的女生也看成一個(gè)整體,這樣解決這個(gè)問題可分為三個(gè)步驟:選排男生、女生這兩個(gè)整體,有種排法,然后排四名男生,有種排法,最后排三名女生,有種排法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,將四名男生站在一起,三名女生站在一起的站法有··=288種.

(注:此種方法稱為“捆綁法”)

(5)不妨先排男生,有種排法,在四名男生間的三個(gè)間隔共有三個(gè)位置安排三名女生,有種,因此共有·種排法符合要求,故四名男生三名女生相間排列的排法共有·=144種.

(6)在7個(gè)位置上任意排列7名學(xué)生,有排法種,由于女生的順序一定,而在中每一種情況均以計(jì)算,故三名女生順序一定的排法有=840種.

小結(jié):“元素分析法”“位置分析法”是解決排列問題的基本方法,它們的共同點(diǎn)是先考慮特殊元素的要求,以特殊元素為軸心展開討論;解決帶有限制條件的排列問題除“軸心法”外,還有間接法即淘汰法.直接法、間接法、插入法、捆綁法,都是分析問題的常用方法.