Question

（2012•閘北區(qū)一模）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列．
（1）求證：b=c；
（2）設(shè)點(diǎn)p（0，-1）在線段AB的垂直平分線上，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，可得2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，利用橢圓定義可得|AB|=

4

3

a．設(shè)l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0（*），利用韋達(dá)定理可得

4a

3

=

4b2

a2+b2

•a，從而可證b=c． 
（2）由（1）有b=c，方程（*）可化為3y²-2by-b²=0，根據(jù)|PA|=|PB|知PM為AB的中垂線，可得k_PM=-1，從而可求b=3，進(jìn)而可求橢圓C的方程．

解答：（1）證明：由題設(shè)，∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由橢圓定義|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，，
所以，|AB|=

4

3

a．（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），l：x=y-c，
代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，（*）（2分）
∴y1+y2=

2b2c

a2+b2

，y1y2=

-b4

a2+b2

∴|AB|²=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(y1-y2)2=2[(y1+y2)2-4 y1y2]
=2[(

2b2c

a2+b2

)2+

4b4

a2+b2

]=

2

(a2+b2)2

4b4[c2+a2+b2]=

8b4

(a2+b2)2

•2a2
于是有

4a

3

=

4b2

a2+b2

•a，（4分）
化簡，得a=

2

b，故b=c． （1分）
（2）解：由（1）有b=c，方程（*）可化為3y²-2by-b²=0    （1分）
設(shè)AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則y0=

1

2

(y1+y2)=

b

3

，
又M∈l，于是x0=y0-c=-

2b

3

． （2分）
由|PA|=|PB|知PM為AB的中垂線，∴k_PM=-1，
由P（0，-1），得-1=

b 3 +1

- 2b 3

，解得b=3，
∴a²=b²+c²=18，（2分）
故橢圓C的方程為

x2

18

+

y2

9

=1．（1分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)p（0，-1）在線段AB的垂直平分線上，求得斜率為-1．