Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），直線y=kx與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若三角形AF₁F₂的周長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$+6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$，且以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{2a+2c=6+4\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，化為（b²+a²k²）x²-a²b²=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由AF₂⊥BF₂，可得$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{2a+2c=6+4\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=12，b²=3．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，化為（b²+a²k²）x²-a²b²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=0，x₁x₂=$\frac{-{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
易知，AF₂⊥BF₂，
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₂-3，y₂），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=（1+k²）x₁x₂+9=0．
∴$\frac{-{a}^{2}（{a}^{2}-9）（1+{k}^{2}）}{（{a}^{2}-9）+{a}^{2}{k}^{2}}$+9=0，
將其整理為k²=$\frac{{a}^{4}-18{a}^{2}+81}{-{a}^{4}+18{a}^{2}}$=-1-$\frac{81}{{a}^{4}-18{a}^{2}}$．
∵|k|＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴12＜a²＜18，
解得$2\sqrt{3}＜a＜3\sqrt{2}$，
∴離心率$\frac{\sqrt{2}}{2}＜e＜\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．